Всего: 166 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Тогда 
то есть 
В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
Откуда находим 
По теореме Пифагора 
Найти площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Ввиду подобия 
и по теореме Пифагора:
Так как, то, подставляя в последнее уравнение, получим:
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D проходит через середины сторон AD, BD и CD и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
Тогда ADH, BDH и CDH — равные прямоугольные треугольники, в которых катет DH в два раза меньше гипотенузы.
В правильном треугольнике 
это радиус описанной окружности, откуда 
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D пересекает стороны AD, BD и CD в отношении 2 : 1 (считая от вершины D) и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
В правильном треугольнике ABC это радиус описанной окружности, откуда 
Эта же высота является диаметром окружности. Отсюда получаем отношение площадей: 
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?
Эта же высота является диаметром окружности. Отсюда получаем отношение площадей: 
радиус равен a; у второй окружности: центр — точка 
радиус равен 
у третьей окружности: центр — точка 
радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках 
Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке 
точка B — на 
точка C — на 
Центр описанной окружности треугольника ABC обозначим 
равны 7, 8 и 9. Точки A, B и C делят стороны треугольника 
Посчитаем её радиус, поделив площадь треугольника 
вычисленную по формуле Герона, на её полупериметр: 
и OBC равнобедренные с основанием BC, точки O и 
лежат не серединном перпендикуляре к ВС. Тогда по теореме Пифагора получаем 
за 
В прямоугольном треугольнике 
эта точка — основание высоты, опущенной из прямого угла, откуда 
а 
a 
у второй окружности: центр — точка 
а 
а 
и 
—
и LM — средние линии в треугольниках ABC и BCD, KL и AC — перпендикулярны, LM и BD — перпендикулярны. Значит, KL перпендикулярна LM, то есть треугольник KLM — прямоугольный. Кроме того, 
а 
Отсюда 
Так как 
то 
и 
Значит, 
то есть треугольник 
а 
Отсюда 
и 
которые подобны с коэффициентом 
Так как 
то 
По теореме Пифагора в треугольнике 
Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, 
Тогда 
Значит, треугольник ADH равнобедренный и биссектриса угла A является в нём серединным перпендикуляром к DH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CDH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
Тогда, по признаку описанного четырёхугольника, 
Тогда 
Значит, треугольник CDH равнобедренный и биссектриса угла D является в нём серединным перпендикуляром к CH. Но тогда это и серединный перпендикуляр в треугольнике CBH, а серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает большую из оставшихся сторон, то есть BH.
Докажите, что треугольник равносторонний.
и 
—
Аналогично можно получить, что она составляет 
и 
поэтому треугольник равносторонний.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Аналогично можно получить, что она составляет 
поэтому треугольник равнобедренный.
аналогичные обозначения введём для остальных рёбер.
и 
Заметим, что отрезок 
средняя линия в треугольнике 
значит, он равен половине ребра 
по длине и параллелен этому ребру. Но то же самое можно сказать и про ребро 
значит, эти отрезки параллельны и равны, т. е. образуют параллелограмм. Таким образом, четыре вершины, которые должны образовывать правильный тетраэдр, оказались лежащими в одно й плоскости. 
и 
—
а значит, подобен ему с коэффициентом 
откуда 
Кроме того, 
и 
так как 
и 
средние линии в треугольниках ABD и ACD соответственно. 
—
в то же время 
составляет 
от медианы треугольника 
Кроме того, они перпендикулярны, так как 
Найдите ребра исходного тетраэдра.
Треугольник 
а значит, подобен ему с коэффициентом 
Кроме того, 
и 
так как 
в то же время 
Kpoме того, они перпендикулярны, так как 
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AB = AC, BT = 70, AT = 37.
тогда по условию 
Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, поэтому 
Тогда получаем 
